フーリエ解析 - I have no talent.

フーリエ 積分

$f(x)$ がすべての有限区間で区分的に連続で、すべての点で左右の微分係数を持ち、
$|f(x)|$ の無限範囲の積分が存在するなら、 $f(x)$ は

$f(x)=\int_{0}^{\qquad \infty}[ A(w) \cos wx +B(w) \sin wx ] dw \\ A(w)=\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{-\infty}f(x)\cos wx dx\\B(w)=\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{-\infty}f(x)\sin wx dx$

にて、表示される。 $f(x)$ が不連続である点では、その値は左右極限値の平均をとる。
このフーリエ積分は $f(x)$ が偶関数ならば、

$f(x)=\int_{0}^{\qquad \infty} A(w) \cos wx dw \\ A(w)=\frac{2}{\pi}\int^{\qquad \infty}_{0}f(x)\cos wx dx$

のようなフーリエ余弦積分となり、奇関数ならば

$f(x)=\int_{0}^{\qquad \infty} B(w) \sin wx dw \\ B(w)=\frac{2}{\pi}\int^{\qquad \infty}_{0}f(x)\sin wx dx$

のようなフーリエ正弦積分となる。