解析力学 - I have no talent.

コリオリの力

回転球面上で、運動する物体に作用する力を考える。
座標設定を上図の様にし、 $S_{\small 1}$ 系から $S$ 系への軸の回転を伴うとする。
z軸を軸とした回転を設定し、 $S_{\small 1}$ 系と $S$ 系のy軸がなす角を $\phi$ とする。
この際、角速度を $\omega$ 、経過時間を $t$ とすると、 $\phi=\omega t$ となる。
$S$ 系から $S_{\small 1}$ 系への変換は $S$ 系の座標を $(x,y,z)$ 、 $S_{\small 1}$ 系の座標を $(x',y',z')$ とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\Large x} \\ {\Large y} \\ {\Large z}\end{pmatrix}$

となる。
このとき $(x',y',z')$ の運動エネルギーは、

$\begin{array}{lcl} T & = & \frac{1}{2}m(\dot{x'}^{2}+\dot{y'}^{2}+\dot{z'}^{2}) \\ & = & \frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})+m\omega(x\dot{y}-\dot{x}y)+\frac{1}{2}m\omega^{2}(x^{2}+y^{2}) \end{array}$

ポテンシャルエネルギーは位置に不変で、 $U(x,y,z)=U(x',y',z')$ からラグランジアンは、

$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})+m\omega(x\dot{y}-\dot{x}y)+\frac{1}{2}m\omega^{2}(x^{2}+y^{2}) -U(x,y,z)$

このラグランジアンから運動方程式を求める。

$\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) \\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} \right) \\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{z}} \right) \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} \frac{\partial L}{\partial x} \\ \frac{\partial L}{\partial y} \\ \frac{\partial L}{\partial z} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} m\ddot{x} \\ m\ddot{y} \\ m\ddot{z} \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 2m\omega x + m\omega^{2}x-\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial x} \\ -2m\omega y + m\omega^{2}y-\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial y} \\ -\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial z} \end{pmatrix} \end{array}$

これをベクトルで表記すると、

$m\ddot{{\bf x}}=2m\dot{{\bf x}}\times{\bf \omega}-m{\bf \omega}\times({\bf \omega}\times{\bf x})-{\bf \nabla}U$

ここで、 ${\bf \omega}=\omega{\bf e}_{z}$ 。
第一項がコリオリの力、第二項が遠心力。