複素解析 - I have no talent.

テーラー 級数

領域 $D$ 内で $f(z)$ が正則のとき、領域D内で中心を $z_{\small 0}$ とする以下の級数が得られる。

$f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}f^{(n)}(z_{\small 0})(z-z_{\small 0})^{n}$

ローラン級数

$f(z)$ が $z_{\small 0}$ を中心とする同心円 $C_{\small 1},C_{\small 2}$ での円環内で
解析的なら、 $f(z)$ は以下のような級数で表される。

$f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}(z-z_{\small 0})^{n}+\sum^{\infty}_{n=1}b_{n}(z-z_{\small 0})^{-n} \\ a_{n}=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{\small C}\,\frac{f(t)}{(t-z_{\small 0})^{n+1}}dt,\,b_{n}=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{\small C}\,(t-z_{\small 0})^{n-1}f(t)dt$

これは

$f(z)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}a_{n}(z-z_{\small 0})^{n} \\ a_{n}=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{\small C}\,\frac{f(t)}{(t-z_{\small 0})^{n+1}}dt$

と書き換えるとができる。

留数

$f(z)$ を $z_{\small 0}$ を中心にローラン展開すると、

$f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}(z-z_{\small 0})^{n}+b_{1}(z-z_{\small 0})^{-1}+\sum^{\infty}_{n=2}b_{n}(z-z_{\small 0})^{-n}$

このとき、

$b_{1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\small C}f(z)dz$

となり $b_{1}$ を留数と呼び $b_{1}=Res_{z=z_{\small 0}}f(z)$ と書く、
任意の位数で留数は

$Res_{z=z_{\small 0}}f(z)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to z_{\small 0}}\{\frac{{\large d}^{\small m-1}}{{\large dz}^{\small m-1}}[ (z-z_{\small 0})^{m}f(z)]\}$

と表される。

留数定理

$f(z)$ が単純閉曲線 $C$ 上および内部で解析的でない点が有限個存在するとする。
その際、 $C$ 上で反時計回りの方向をとった積分は、

$\oint_{\small C}\,f(z)dz=2\pi i\sum Res\,f(z)$

となる。