フーリエ解析 - I have no talent.

複素フーリエ積分を以下のように書いてみる。

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}f(v)e^{-iwv}dv\right]e^{iwx}dw$

カッコ内の積分を $\hat{f}(w)$ と表し、 $f$ のフーリエ変換と呼ぶ。
$v$ を $x$ で置き換え、書き直す。

$\hat{f}(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}f(x)e^{-iwx}dx$

この逆変換は、

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}\hat{f}(w)e^{iwx}dw$

この変換の存在条件は、

である。

$\mathcal{F}(f)=\hat{f}(w)$ とフーリエ変換を表示する。
フーリエ変換は線形性を持ち、

$\mathcal{F}(af+bg)=a\mathcal{F}(f)+b\mathcal{F}(g)$

$\mathcal{F}\{f'(x)\}=iw\mathcal{F}\{f(x)}$

畳み込みは、

$h=(f*g)(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(p)g(x-p)dp=\int^{\infty}_{-\infty}f(x-p)g(p)dp$

と定義すると、

$\mathcal{F}(f*g)=\sqrt{2\pi}\mathcal{F}(f)\mathcal{F}(g)$

となる。