フーリエ解析 - I have no talent.

複素解析は一旦終了。フーリエ解析に移る。テキストはフーリエ解析と偏微分方程式 (技術者のための高等数学)。

フーリエ級数

$f(x)=f(x+2L)$ であるような周期的な関数が $-L\leq x \leq L$ で区分的に連続で、その区間内の点で左右の微分係数を持つとする。
このとき、 $f(x)$ は以下のように展開できる。

$f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos \frac{n \pi}{L}x+b_{n}\sin \frac{n \pi}{L}x) \\ a_{0}=\frac{1}{2L}\int^{\qquad L}_{-L}f(x)dx \\ a_{n}=\frac{1}{L}\int^{\qquad L}_{-L}f(x)\cos \frac{n \pi}{L}xdx\\ b_{n}=\frac{1}{L}\int^{\qquad L}_{-L}f(x)\sin \frac{n \pi}{L}xdx$

このとき、級数は収束する。ただし、 $f(x)$ が不連続である点 $x_0$ では、級数の和は左極限値と右極限値の平均値に等しい。