複素解析

物理・数学

冪級数

z-z_{\small 0}で表される冪級数は以下のような形をしている。

\sum_{n=0}^{\infty}a_{\small n}(z-z_{\small 0})

冪級数の収束

(a)冪級数はz=z_{\small 0}にて、収束する。
(b)冪級数がz=z_{\small 1}(z_{\small 1} \neq z_{\small 0})収束するなら、|z-z_{\small 0}|<|z_{\small 1}-z_{\small 0}|なる、すべてのzにて絶対収束する。
(c)冪級数がz=z_{\small 2}にて発散するなら、|z_{\small 0}-z_{\small 2}|<|z-z_{\small 2}|を満たすzにて発散する。

冪級数の収束半径

冪級数が収束する点のすべてを含んだ、z=z_{\small 0}を中心とする、最小の半径Rを収束半径と呼ぶ

コーシー・アダマールの公式

冪級数\sum_{n=0}^{\infty}a_{\small n}(z-z_{\small 0})の収束半径は、\left|\frac{a_{\small n+1}}{a_{\small n}}\right|が極限で収束するならば、

R={\large \frac{1}{L}}=\lim_{n \to \infty}\left| \frac{a_{\small n}}{a_{\small n+1}} \right|

また、\sqrt[\small n]{|a_{\small n}|}が極限で収束するならば、

R={\large \frac{1}{l}} \\ l=\overline{\lim_{\small n \to \infty}}\sqrt[\small n]{|a_{\small n}|}