複素解析 - I have no talent.

テキストは複素関数論 (技術者のための高等数学)。
これの第5版は大学のときの教科書だったが、使いすぎてぼろぼろになったので、新しく買いなおした。
コーシー・リーマンの方程式なんてすっかり忘れていました。
でも、コーシーの定理とか留数、ローラン展開とかは覚えていた。
で、現在の復習はコーシーの定理まで。

コーシー・リーマンの方程式

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 、 $x,y$ は実数値と定義したとき、領域 $D$ 内で
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\;\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$
が成立するとき、 $f(z)$ はその領域内で解析的。

複素積分

経路 $C$ が区分的に滑らかな線で、 $z$ が $t\,(a\lt t \lt\,b)$ に関しての関数に置き換えられるとき、
経路 $C$ 上の $f(z)$ に関する積分は、
$\oint_C f(z)\,dz =\int_b\,^a\,f(z(t))\,\frac{dz}{dt}dt$
となる。

コーシーの定理

$f(z)$ が単連結領域 $D$ で解析的ならば、
その領域 $D$ 内の単純閉路 $C$ 上の $f(z)$ の積分は
$\oint_C f(z)\,dz =\,0$